优化理论基础（中） · 最优化 03
关键字： 最优化理论 仿射集 凸集 仿射包 凸锥 超平面 半空间 多面体 保凸运算 分离超平面 支撑超平面 凸函数
本文将介绍凸优化领域内最重要的数个概念，尤其是凸集和凸函数。我们关心集合和函数的 “凸性” 是因为它让最值的求解有了理论保证。正因如此， 本文将重点阐述了一些判定凸性的规则和方法。
1 直线与仿射集
直线（定义）. 对于 $\mathbb{R}^n$ 中的两个点 $x_1$ 和 $x_2$，形如 \begin{aligned} y = \theta x_1 + (1 - \theta) x_2 \end{aligned} 的点组成了过点 $x_1$ 和 $x_2$ 的直线。当 $0 \leq \theta \leq 1$ 时，这样的点形成了连接点 $x_1$ 和 $x_2$ 的 线段 。
仿射集（定义）. 若过集合 $C$ 中任意两点的 直线 都在 $C$ 内，则称 $C$ 为仿射集，即 $$ x_1, x_2 \in C \quad \Longrightarrow \quad \theta x_1 + (1 - \theta) x_2 \in C, \forall \theta \in \mathbb{R}. $$
2 凸集
凸集（定义）. 若过集合 $C$ 中任意两点的 线段 都在 $C$ 内，则称 $C$ 为凸集，即 $$ x_1, x_2 \in C \quad \Longrightarrow \quad \theta x_1 + (1 - \theta) x_2 \in C, \forall \theta \in [0, 1]. $$ 显然，仿射集都是凸集。
3 凸组合与凸包
凸组合（定义）. 对于给定的点 $x_1, ..., x_k$，$\forall \theta_i \geq 0, \sum_i {\theta_i} = 1$，形如 $$ x = \sum_{i=1}^k \theta_i x_i $$ 的点称为 $x_1, ..., x_k$ 的凸组合。
凸包（定义）. 集合 $\mathcal{S}$ 中的点所有可能的凸组合构成的集合称作 $\mathcal{S}$ 的凸包，记为 $\mathbf{conv}\mathcal{S}$。
凸组合是凸集定义的扩展——从两个点扩展到多个点。
4 仿射包
去掉凸组合的定义中的 $\forall \theta_i \geq 0$ 的限制，即可得到仿射包的概念。
仿射包（定义）. 设 $\mathcal{S}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的子集，则称 $$ \Big\{x \mid x = \sum_{i=1}^k \theta_i x_i, \quad x_1, ..., x_k \in \mathcal{S}, \sum_{\theta_i} = 1 \Big\} $$ 为集合 $\mathcal{S}$ 的仿射包，记为 $\mathbf{affine \mathcal{S}}$。
$\mathbf{affine}\mathcal{S}$ 是包含 $\mathcal{S}$ 的最小的仿射集。
5 锥组合与凸锥
锥组合（定义）. 形如 $x = \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2, \theta_1 > 0, \theta_2 > 0$ 的点称为点 $x_1,x_2$ 的锥组合。
凸锥（定义）. 若集合 $\mathcal{S}$ 中任意点的锥组合都在 $\mathcal{S}$ 中，则称 $\mathcal{S}$ 为凸锥。
6 重要的凸集
6.1 超平面与半空间
- 超平面 ：集合 $\{x | a^\mathrm{T} x = b, a \neq 0 \}$
- 半空间 ：集合 $\{x | a^\mathrm{T} x \leq b, a \neq 0 \}$
其中 $a$ 是对应超平面和半空间的法向量。一个超平面将 $\mathbb{R}^n$ 分为两个半空间。 显然，超平面是仿射集和凸集，半空间是凸集但不是仿射集（因为一端封闭）。
6.2 球、椭球和锥
- 球 ：空间中到某个点距离不大于某个常数的点的结合。我们将 \begin{aligned} B(x_c, r) = \Big\{x \mid | x - x_c \|_2 \leq r\} = \{ x_c + ru \mid \| u \|_2 \leq 1 \Big\} \end{aligned} 称为中心为 $x_c$、半径为 $r$ 的欧几里得球。
- 椭球 ：我们将形如 \begin{aligned} \Big\{x \mid (x - x_c)^\mathrm{T} P^{-1} (x - x_c) \leq 1, P \in \mathcal{S}_{++}^n \Big\} \end{aligned} 的集合称为椭球。椭球的另一种表示为 $\{x_c + Au \mid \| u \|+2 \leq 1 \}$，其中 $A$ 为非奇异方阵。
以上定义中使用的是 $l_2$ 范数，因此得到的都是欧几里得空间的距离。如果不限制范数的类型，即 $\| \cdot \|$ 是任意一个范数，则称 $\{x \mid \| x - x_c \| \leq r \}$ 是中心为 $x_c$，半径为 $r$ 的 范数球 ，称 $\{(x,t) \mid \|x\| \leq t\}$ 为范数锥。 欧几里得范数锥也称为 二次锥 。
6.3 多面体和半正定锥
- 多面体 ：满足线性等式和不等式组的点集 \begin{aligned} \big\{x \mid Ax \leq b, Cx = d \big\} \end{aligned} 被称为多面体。多面体是有限个半空间和超平面的交集，因此是凸集。
- （半）正定锥 ：$\mathcal{S}_+^n$（$n \times n$ 半正定阵的集合）是凸锥。因此又称之为半正定锥。同理 $\mathcal{S}_{++}^n$ 是正定锥。
7 凸集的保凸运算
证明一个集合是凸集的方法：（1）定义；（2）简单凸集的保凸运算。 常用的保凸元算是 “取交集” 和“仿射变换”（缩放、平移、投影）。
取交集保凸（定理）. 任意多个凸集的交为凸集。即，若 $C_i, i \in \mathcal{I}$ 是凸集，则 $$ \bigcap_{i \in \mathcal{I}} C_i $$ 为凸集。这里不要求指标集 $\mathcal{I}$ 可列。
仿射变换保凸（定理）. 设 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 是仿射变换 $f(x) = Ax + b$，则
- 凸集在 $f$ 下的像是凸集： $S \subseteq \mathbb{R}^n$ 是凸集 $\Longrightarrow f(S) \triangleq \{ f(x) \mid x \in S \}$ 是凸集；
- 凸集在 $f$ 下的原像是凸集： $C \subseteq \mathbb{R}^m$ 是凸集 $\Longrightarrow f^{-1}(C) \triangleq { x \in \mathbb{R}^n \mid f(x) \in C }$ 是凸集。
8 分离超平面
超平面可以分离不相交的凸集。
分离超平面定理（定理）. 如果 $C$ 和 $D$ 是两个不相交的凸集，则存在非零向量 $a$ 和常数 $b$，使得 \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} a^\mathrm{T} x \leq b & \forall x \in C \\ a^\mathrm{T} x \geq b & \forall x \in D. \end{array} \right. \end{aligned} 即超平面 $\{x \mid a^\mathrm{T} x = b\}$ 分离了 $C$ 和 $D$。
9 支撑超平面
当 $C$ 是闭凸集，$D$ 是单点集时，我们有严格分离定理。
严格分离定理（定理）. 设 $C$ 是闭凸集，点 $x_0 \notin C$，则存在非零向量 $a$ 和常数 $b$，使得 \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} a^\mathrm{T} x < b & \forall x \in C \\ a^\mathrm{T} x_0 > b. & \quad \end{array} \right. \end{aligned} 当点 $x_0$ 恰好在凸集 $C$ 的边界上时，即可构造 “支撑超平面”。
支撑超平面（定义）. 给定集合 $C$ 及其边界上的一点 $x_0$，如果 $a \neq 0$ 满足 $\forall x \in C, a^\mathrm{T} x \leq a^\mathrm{T} x_0$，那么集合 $$ \big\{x \mid a^\mathrm{T} x = a^\mathrm{T} x_0 \big\} $$ 为 $C$ 在边界点 $x_0$ 处的支撑超平面。
几何上，$\{x \mid a^\mathrm{T} x = a^\mathrm{T} x_0 \}$ 与 $C$ 在点 $x_0$ 处相切且半空间 $a^\mathrm{T} x \leq a^\mathrm{T} x_0$ 包含 $C$。
支撑超平面定理（定理）. 如果 $C$ 是凸集，则在 $C$ 的 任意边界点处 都存在支撑超平面。
支撑超平面的几何直观 ：给定一个平面后，可把 凸集边界上的任意一点 当成支撑点将凸集放置在该平面上。从几何直观来理解凸优化的性质是非常重要的。
10 凸函数
凸函数（定义）. 若函数 $f$ 的定义域 $\mathbf{dom}f$ 是凸集，且 $$ f\big(\theta x + (1-\theta) y)\big) \leq \theta f(x) + (1 - \theta) f(y) $$ 对所有 $x,y \in \mathbf{dom}f, 0 \leq 1$ 都成立，则称 $f$ 是凸函数。如果对所有 $x,y \in \mathbf{dom}f, 0 \leq \theta \leq 1$ 都有上式严格成立（处处小于）， 则称 $f$ 是严格凸函数。
相应地，若 $-f$ 凸函数，则称 $f$ 为凹函数。很多凸函数的性质都可以应用在凹函数上，因此我们主要讨论凸函数。
11 强凸函数
强凸函数（定义）. 若存在常数 $m > 0$ 使得 $$ g(x) = f(x) - \frac{m}{2} \| x \|^2 $$ 为凸函数，则称 $f$ 是强凸函数。其中 $m$ 为强凸参数，也称 $f$ 为 $m$- 强凸函数（曲线弯曲的更加厉害了，减去一个正定二次函数之后仍然是凸的）。
强凸函数的等价定义（定义）. 若存在常数 $m > 0$ 使得对于任意 $x,y \in \mathbf{dom}f$ 以及 $\theta \in (0,1)$，有 $$ f\big(\theta x + (1 - \theta) y\big) \leq \theta f(x) + (1 - \theta) f(y) - \frac{m}{2}\theta (1 - \theta) \| x - y \|^2, $$ 则称 $f$ 是强凸函数（可以看到 $f$ 一定是严格凸函数）。
显然，强凸函数比一般凸函数具有更快的收敛速度。
强凸函数解的唯一性（定理）. 若 $f$ 为强凸函数且存在最小值，则 $f$ 的最小值点唯一。
证明 . 反证法。设 $x \neq y$ 均为 $f$ 的最小值点，取 $\theta \in (0,1)$，则 \begin{aligned} f\big(\theta x + (1 - \theta) y\big) &\leq \theta f(x) + (1 - \theta) f(y) - \frac{m}{2}\theta (1 - \theta) \| x - y \|^2 \\ &= f(x) - \frac{m}{2} \theta (1 - \theta) \| x - y \|^2 \qquad \quad \triangleright f(x) = f(y) \\ &<f(x), \end{aligned} 其中严格不等号成立是因为 $x \neq y$。这与 $f(x)$ 是最小值矛盾。
12 凸函数的判定
12.1 凸函数判定定理
凸函数判定定理（定理）. $f(x)$ 是凸函数当且仅当对任意的 $x \in \mathbf{dom}f, v \in \mathbb{R}^n, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$， \begin{aligned} g(t) = f(x + tv ), \quad \mathbf{dom} g = \{ t \mid x + tv \in \mathbf{dom}f \} \end{aligned} 是凸函数（将其限制在直线上，然后判定对应的一维函数是否是凸的）。
证明 .
必要性 。任取 $t_1, t_2 \in \mathbf{dom} g$ 以及 $\theta \in (0, 1)$，则 \begin{aligned} x + t_1 v \in \mathbf{dom}f, x + t_2 v \in \mathbf{dom}f, \end{aligned} 由 $\mathbf{dom}f$ 是凸集可以得到 \begin{aligned} x + \big(\theta t_1 + (1-\theta) t_2 \big) v \in \mathbf{dom}f, \end{aligned} 这说明 $\theta t_1 + (1-\theta) t_2 \in \mathbf{dom}g$，因此 $\mathbf{dom}g$ 是凸集。同样地，带入 $g$ 的定义可以证得 $g$ 是凸函数。
充分性 。对任意的 $x,y \in \mathbf{dom}f$ 以及 $\theta \in (0, 1)$，取 $v = y - x, t_1 = 0, t_2 = 1$， 则 $\theta \cdot 0 + (1 - \theta) \cdot 1 \in \mathbf{dom}g$，所以 $x + (1 - \theta) (y - x) = \theta x + (1 - \theta) y \in \mathbf{dom}f$，这说明 $\mathbf{dom}f$ 是凸集。
根据 $g(t)$ 的凸性，进一步有 \begin{aligned} g(1 - \theta) &= g(\theta t_1 + (1 - \theta) t_2) \\ &\leq \theta g (t_1) + (1 - \theta) g(t_2) \\ &= \theta f(x) + (1 - \theta) f(y). \end{aligned} 而等式左边有 \begin{aligned} g(1 - \theta) = f(x + (1 - \theta) (y - x)) = f(\theta x + (1 - \theta) y), \end{aligned} 因此 $f(x)$ 是凸函数。
有了凸函数判定定理，我们就可以结合定义和该定理来证明一个一般函数是否为凸函数。
12.2 常见的凸函数
- 仿射函数 ：$a^\mathrm{T}x + b, a, x \in \mathbb{R}^n$，$\langle A, X \rangle, A, X \in \mathbb{R}^{m \times n}$
- 指数函数 ：$e^{ax}, a, x \in \mathbb{R}$
- 幂函数 ：$x^\alpha, x > 0$，当 $\alpha \geq 1$ 或 $\alpha \leq 0$ 是为凸函数
- 负熵 ：$x \ln x, x > 0$
- 范数 ：所有向量与矩阵的范数都是凸函数（三角不等式）
12.3 更多凸性判定方法
1）利用导数判定凸性
一阶条件（定理）. 对于定义在凸集上的可微函数 $f$，$f$ 是凸函数当且仅当 $$ f(y) \geq f(x) + \nabla f(x)^\mathrm{T} (y - x), \quad \forall x, y \in \mathbf{dom} f. $$
2）利用梯度单调性判定凸性
梯度单调性（定理）. 设 $f$ 是可微函数，则 $f$ 为凸函数当且仅当 $\mathbf{dom} f$ 为凸集且 $\nabla f$ 为单调映射，即 $$ \big(\nabla f(x) - \nabla f(y) \big)^\mathrm{T} (x - y) \geq 0, \quad \forall x, y \in \mathbf{dom} f. $$
证明 .
必要性 。若 $f$ 可微且为凸函数，则根据一阶条件有 \begin{aligned} f(y) &\geq f(x) + \nabla f(x)^\mathrm{T} (y - x) \\ f(x) &\geq f(y) + \nabla f(y)^\mathrm{T} (x - y), \end{aligned} 相加即可。
充分性 。构造一元辅助函数 $g(t) = f(x + t (y - x))$，则 $g'(t) = \nabla f\big(x + t (y-x)\big)^\mathrm{T} (y - x)$。 根据 $\nabla f$ 的单调性可得 $g'(t) \geq g'(0), \forall t \geq 0$。因此 \begin{aligned} f(y) &= g(1) = g(0) + \int_0^1 g'(t)dt \\ &\geq g(0) + g'(0) = f(x) + \nabla f(x)^\mathrm{T} (y - x). \end{aligned}
严格凸函数和强凸函数的梯度单调性（定理）. 设 $f$ 是可微函数，$\mathbf{dom} f$ 为凸集，则
- $f$ 是严格凸函数当且仅当 $$ \big(\nabla f(x) - \nabla f(y) \big)^\mathrm{T} (x - y) > 0, \quad \forall x, y \in \mathbf{dom} f. $$
- $f$ 是 $m$- 强凸函数当且仅当 $$ \big(\nabla f(x) - \nabla f(y) \big)^\mathrm{T} (x - y) \geq m \| x - y \|^2, \quad \forall x, y \in \mathbf{dom} f. $$
3）利用二阶导数判定凸性
二阶条件（定理）. 设 $f$ 是定义在凸集上的二阶连续可微函数，则 $f$ 是凸函数当且仅当 $$ \nabla^2 f(x) \succeq 0, \quad \forall x \in \mathbf{dom}f. $$ 若正定，则 $f$ 是严格凸函数。
证明 .
必要性 。假设存在点 $x$ 使得 $\nabla^2 f(x) \nsucceq 0$，即存在非零向量 $v \in \mathbb{R}^n$ 使得 $v^\mathrm{T} \nabla^2 f(x) v < 0$。 在 $x + tv$ 处泰勒展开得 \begin{aligned} \frac{f (x + tv) - f(x) - t \nabla f(x)^\mathrm{T} v}{t^2} = \frac{1}{2} v^\mathrm{T} \nabla^2 f(x) v + o(1). \end{aligned} 所以当 $t$ 充分小的时候 $o(1) \to 0$，即 $f (x + tv) - f(x) - t \nabla f(x)^\mathrm{T} v < 0$。这与一阶条件的结论相矛盾。
充分性 。对任意的 $x, y \in \mathbf{dom}f$，根据泰勒展开可得 \begin{aligned} f(y) = f(x) + \nabla f(x)^\mathrm{T} (y - x) + \frac{1}{2}\underbrace{(y - x)^\mathrm{T} \nabla^2 f\big(x + t (y - x)\big) (y - x)}_{\textrm{半正定性可得本项}\geq 0}, \end{aligned} 其中 $t \in (0,1)$。这正是凸函数判定的一阶条件。
本证明稍加改造，即可得到严格凸函数的二阶条件的证明。
利用二阶条件判定凸性示例 ：
- 二次函数 ：$f(x) = \frac{1}{2} x^\mathrm{T} P x + q^\mathrm{T}x_r (P \in \mathcal{S}^n)$，显然 \begin{aligned} \nabla f(x) = Px + q, \quad \nabla^2 f(x) = P. \end{aligned} 因此 $f$ 是凸函数当且仅当 $P \succeq 0$。
- 最小二乘函数 ：$f(x) = \frac{1}{2} \| Ax - b \|^2$，显然 \begin{aligned} \nabla f(x) = A^\mathrm{T} (Ax - b), \quad \nabla^2 f(x) = A^\mathrm{T} A. \end{aligned} 所以对任意的 $A$ 都有 $f$ 是凸函数。
4）利用上方图判定凸性
上方图和凸函数的关系（定理）. 函数 $f(x)$ 是凸函数当且仅当其上方图 $\mathbf{epi}f$ 是凸集。
证明 .
必要性 。取 $x_1, x_2, t_1, t_2$ 使得 $f(x_1) \leq t_1, f(x_2) \leq t_2$，则 $$ f(\theta x_1 + (1 - \theta) x_2) \leq \theta t_1 + (1 - \theta) t_2. $$ 这说明 \begin{aligned} \big(\theta x_1 + (1 - \theta) x_2, \theta t_1 + (1 - \theta) t_2\big) \in \mathbf{epi}f, \theta \in (0,1). \end{aligned} 所以 $\mathbf{epi}f$ 为凸集。
充分性 。显然 $(x_1, f(x_1)) \in \mathbf{epi}f, (x_2, f(x_2)) \in \mathbf{epi}f$，因为 $\mathbf{epi}f$ 是凸集，所以 \begin{aligned} \big(\theta x_1 + (1 - \theta) x_2, \theta f(x_1) + (1 - \theta) f(x_2) \big) \in \mathbf{epi}f, \theta \in (0,1). \end{aligned} 所以 $f\big(\theta x_1 + (1 - \theta) x_2 \big) \leq \theta f(x_1) + (1 - \theta) f(x_2)$。即 $f$ 是凸函数。
最后
本文所使用的图片来自北京大学开设的凸优化课程的官方教材。
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